Google Snapchat跪经

oldfish 发表于 2016-12-10 05:28
我只会直接积分的笨方法，相当麻烦......

相当于算一个立方体内被一些平面围成的体积

居然还要积分……我在网上找到了一些资料，好像很复杂，还有什么beta 分布……

oldfish 发表于 2016-12-10 05:28
我只会直接积分的笨方法，相当麻烦......

相当于算一个立方体内被一些平面围成的体积

我用积分算的结果也是4/9, 2/9和1/3。但是实际用MATLAB和python模拟的结果都是[7/18, 5/18, 1/3]. 虽然第一个人赢面大的结论没变，但是这可能说明：

1. 我们用的积分的方法有问题
2. MATLAB和python的随机数产生器有问题
3. 我用的模拟程序的实验方法有问题

1. 
   
2. nExp = 1000000;
   
3. x = sort(rand(nExp, 3), 2);
   
4. v = repmat([1 2 3], nExp, 1);
   
5. t = x./v;
   
6. [~, winner] = max(t, [], 2);
   
7. for i = 1:3
   
8.     fprintf('prob %d: %.3f\n', i, sum(winner == i)/nExp*100)
   
9. end

复制代码

prob 1: 38.891
prob 2: 27.753
prob 3: 33.356

补充内容 (2016-12-11 01:17):
抱歉代码确实写错了，请无视

手机码字，昨天算的，用python模拟了一遍和积分了一遍都是4/9，
0＜a＜b＜c＜1 所以这个是空间坐标系里面 100 010 001下方的体积，1/6
然后a赢的条件是 2a＜b，以及3a＜c。两个面切了刚才的三棱锥，积分算出体积2/27。除以1/6就是概率了。

ryc111 发表于 2016-12-10 17:59
手机码字，昨天算的，用python模拟了一遍和积分了一遍都是4/9，
0＜a＜b＜c＜1 所以这个是空间坐标系里面 1 ...

能否分享一下python模拟的代码呢？多谢。

stellari 发表于 2016-12-10 16:57
我用积分算的结果也是4/9, 2/9和1/3。但是实际用MATLAB和python模拟的结果都是[7/18, 5/18, 1/3]. 虽然第 ...

请问一下这个积分怎么算的吗？

神罗天征 发表于 2016-12-11 03:33
请问一下这个积分怎么算的吗？

记3位选手分别为p1,p2,p3. 令x1, x2, x3分别为“第1，2，3次抽样产生出的随机距离”（注意，p1的起始距离是min(x1, x2, x3)，而不一定是x1。p2和p3皆以此类推）。那么x1, x2, x3之间的大小关系总共有6种可能，每种可能的概率均为1/6，即P(x1 < x2 < x3)=1/6，P(x1 < x3 < x2)=1/6...。为简单起见，我们仅讨论x1 < x2 < x3这种情况，因为此时每位选手pi和其对应xj的下标恰好是相同的(i == j)。

这种情况下，如果p1要赢，那么必然有下列不等式成立
2x1 < x2...(1)
3x1 < x3 ... (2)
0 < x1 < x2 < x3 < 1 ... (3)
x1 < 1/3 ... (4) (由(2) (3) 合并可得 ）。

因此，我们要考虑的是x1, x2的取值范围分别是[0, 1/3]和[2x1, 1]。接下来我们要考虑x1和x2取该范围内的每一种组合时，x3的取值范围应当是什么，才能满足上面4个不等式（主要是和x3有关的(2)和(3)）？

对x2分段讨论：当2x1 < x2 < 3x1时，只要(2)成立，那么x2 < x3这一前提(即(3))自动成立；当3x1 < x2时，只要x2 < x3这一前提成立，那么(2)就自动成立。因此，在这两种情况下，我们都可以只考虑一个条件，因为当一个条件满足时，另外一个条件会自动满足。

因此，就有下面的积分式：



这个结果是在x1 < x2 < x3的特定大小关系下的概率，即P(p1 wins, x1 < x2 < x3)。而P(p1 wins) = P(p1 wins,  x1 < x2 < x3) + P(p1 wins,  x1 < x3 < x2) + P(p1 wins,  x2 < x1 < x3) ... = 4/54 + 4/54 + 4/54 ... = 4/54 * 6 = 4/9。

P(p2 wins)，P(p3 wins)都可以用类似的方式来计算

stellari 发表于 2016-12-12 06:40
记3位选手分别为p1,p2,p3. 令x1, x2, x3分别为“第1，2，3次抽样产生出的随机距离”（注意，p1的起始距离 ...

请收下我的膝盖！

神罗天征 发表于 2016-12-11 03:33
请问一下这个积分怎么算的吗？

另外，刚刚忘说了，如果之前的讨论完全用概率论的式子来表示的话，就是这个样子的：

snap 第二题就是在搞你啊 是三哥么？

stellari 发表于 2016-12-11 01:11
能否分享一下python模拟的代码呢？多谢。

import random

x = 0;
y = 0;
z = 0;
for i in range(1000000):
  a = [random.random(), random.random(), random.random()]
  a.sort()
  b = [a[0], a[1]/2, a[2]/3]
  if b[0] < b[1]:
    if b[0] < b[2]:
      x += 1
    else:
      z += 1
  elif b[1] < b[2]:
    y += 1
  else:
    z += 1
print x, y, z