MIT18.06开贴

lecture 15： 投影（projection）
我们算是逐步进展到线性代数的核心了。在二维空间中，将向量b投影到直线a，这就是投影。这一过程引入投影矩阵，作用就是将向量投影到矩阵A的列空间
那么为什么要投影？这是为了解决Ax=b无解的问题，就是说向量b并不总是在A的列空间内（几何理解就是b不再A的列空间构成的图形上）。解决方案就是投影，将b投影成p，问题便转化成Ax^=p，也就是A^T^Ax=A^T^b
一个经典的投影应用就是最小二乘法(least squares method)

补充内容 (2024-02-02 19:52 +08:00):

A^T p = A^T b代表什么

lecture 16：投影矩阵与最小二乘法
投影矩阵P：
向量b可拆解成相互正交的投影向量p和误差向量e，即b=p+e，p=Pb位于矩阵A的列空间，e=(I - P)b位于矩阵A的左零空间
最小二乘法中，首先忽略离群量(造成过大误差的数值)，之后最小化误差||Ax - b||²来拟合一条直线。求解A^T Ax = A^T b。最小二乘法前提：A的各列线性无关

虽然不想打扰楼主，但是这么好的帖子一定要留下

固执的孤勇者 发表于 2024-2-2 23:19
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哈哈哈哈哈 谢谢支持！

lecture 17：正交矩阵和正交化法

lecture 18：行列式及性质
每个方阵都有行列式，记法：det A或|A|
行列式的十条性质：
1. 单位矩阵的行列式为1
2. 交换行列式的两行会改变行列式的符号
3. determinant is a linear function of each row separately
4. If two rows of A are equal, then det A = 0
5. subtract l×row_i from row_k doesn't change determinant
6. a matrix with a row of zeroes has det A = 0
7. if A is triangular, det A = product of diagonal entries
8. If A is invertible, then det A ≠ 0
9. |AB| = |A| |B|
10. |A^T| = |A|

lecture 19：行列式公式及代数余子式
1. 行列式性质求值
使用行列式三性质，就可以求出二阶行列式的值（不用死记了）

对于三阶行列式，将第一行拆成三部分，之后依次拆第二行、第三行
2. 大公式（Big Formula）

3. 代数余子式（cofactor）

lecture 20：行列式应用：逆矩阵、克拉默法则和体积
1. 逆矩阵公式

证明方法：证AC^T=|A| × I
此前求逆矩阵的方法为消元法
2. 克拉默法则
求解Ax = b（方阵）

3. 体积
行列式的绝对值是箱子的体积，|detA| = volume of box

行列式三性质定义了行列式，如果箱子体积具有行列式三性质，那么箱子体积就是行列式（间接证明）

lecture 21：特征值和特征向量
重要的一章

Ax=λx，λ称为特征值(eigenvalue)，x称为特征向量(eigenvector)
1. 特征向量经线性变换后，得到的向量和原来向量在同一直线上
2. n×n矩阵有n个特征值（可能重复）
3. 特征值之和为对角线元素之和，特征值之积为行列式的值
4. 对称矩阵的λ为实数，反对称矩阵的λ为纯虚数或0（两个极端）
5. 上三角矩阵的特征值就是对角线上的元素
Ax=λx，如何求解eigenvalue和eigenvector
1. |A - λI | x = 0有非零解，|A - λI | = 0，解出λ
2. 根据λ求对应特征向量
恭喜突破20大关~用时27天
有些茫然，不知道意义在于哪里 顶着61b和准备实习的压力学线性袋鼠 开始怀疑这样做有没有用 可是不年少轻狂一下 怎么能叫大学呢
一鼓作气，再而衰，三而竭。站长的话是记在心里的

面临专业课的压力，线性代数的学习先告一段落，有机会再重启吧