没有工资但给equity的实习要申CPT吗？

LZ找了一家很小很小的startup，3 months remote summer internship，no salary + 0.5% equity。毕竟不用多花钱租房什么的，所以心想不给工资也无所谓了；equity嘛私以为没什么用，所以一直以为这算unpaid internship，就没想CPT。后来朋友说equity也算收入，一样得申CPT。可这幼小的startup又没法儿兑现，所以也没法交税啊……
比较尴尬的是，之前因为实习是remote的，LZ觉得时间上比较flexible，就跟系里一位教授说好做summer research，而CPT那门课是同一个教授，担心教授不会允许同时full time intern + research……所以想求教一下这种情况是不是必须申CPT……