求教今年sub math官方practice book最后一题

Let Z17 be the ring of integers modulo 17, and let Z17* be the group of units of Z17 under multiplication. Which of the following are generators of Z17*?
I.5
II.8
III.16
(A) None (B) I only (C) II only (D) III only (E) I, II, and III
答案是B...为啥不是E啊，不是和17互素的数都可以吗

题目问的是乘法群的生成元。在这个情况下确实是B。如果是加法群那就是E

生成元的话你会发现，5一个元素在乘法下就可以生成所有的元素了。虽然E元素更多也能生成，但是显然答案B更好啊。

因为对乘法构成群的时候 群里面没有元素0 所以一共只有16个元素
应该选与16互素的数  即5

Engrossed_Quant 发表于 2017-10-19 22:42
因为对乘法构成群的时候 群里面没有元素0 所以一共只有16个元素
应该选与16互素的数  即5

你这个说法是不对的，例如9就不是这个群的生成元。
这是一个16阶群，所有元素的阶都是2的某个幂次。你需要找出一个16阶的元，也就是x^16=1但x^8不等于1。
实际上这个群的生成元必须满足x^8=-1(因为已经知道-1是一个2阶元)；这也等价于不存在y，满足y^2=x(mod17)。

可以用平方剩余的思想来考虑，如果一个数x是17的平方剩余，那么x^((p-1)/2)与1模17同余，也就是x^8=1，显然不是这个群的生成元。