是否要告诉想去的公司，自己最近已经入职另一个公司？

我跳槽面公司A，拿到了offer并且已经开始入职的手续。但是我并没有停止其他已经安排的面试，接下来有公司B的，如果通过了我会果断去。
预计如果一切顺利的话，公司B发offer的时候我在公司A才工作了不到一个月。我当前还没有正式入职公司A，简历里也没写，我也知道背景调查的时候都不用列出这种短期的工作经历。


但是因为我要H1B transfer，到时候一定会需要把这个信息告诉律师的，律师是公司雇的，会不会告诉公司呢？我是否需要自己主动告诉公司B？