上海衍复投资 量化研究院（QR） 笔试

第一次发帖，请多多指教。领英网上海投收到笔试，一共90分钟，很多证明题，没见过类似题的话，根本来不及做。
1. 如图所示，阴影部分均匀分布着1000个点，若用x对y做最小二乘的线性回归，试估计拟合直线的斜率beta，拟合的Rsq。

2. 求极限：见图

3. x1×2,x3,x4,x5是五个独立的随机变量，服从uniform (0,1)分布。y1 =max(x1,x2,x3,x4.x5), y2 =min(x1,x2,x3,x4,x5)。
一、求y1与y2的期望值；二、求corrcoef(y1, y2).
4.证明：n个未知量x1,x2,……xn的次数<=k的实系数多项式全体（例如x^2_1 x^3_2 x^4_3 是一个次数为7的单项式）以及零在通常运算下形成一个线性空间；求这个空间的维数。
5. 在圆形路径上n个不同点处，有n只蚂蚁正准备出发，每只蚂蚁的速度都是每小时绕一圈。听到信号后，它们随机选一个方向同时出发。如果两只蚂蚁相遇，则同时改变方向井原速前进。证明，在有限时间内，存在一个时刻，每只蚂蚁都回到了
原出发点。
6.给定平面上有n个点，这n个点不全在一条直线上。是否一定存在一条直线正好“通过且只通过”其中的2个点？

1. 假设是不带截距项的线性回归，则有beta=sum(xy)/sum(xx). 把sum换成积分，求得beta=1/2. 然后按照积分再求rsq.
2. 分子分母同除以N，把x1, x2, ...看作U(0, 1)的随机分布，积分即可看作是求N个iid随机变量的平方均值与均值的比的期望。N趋于无穷时分子分母的分布都收敛到各自的期望，所以可以用期望的比代替比的期望。最后答案是(1/3) / (1/2) = 2/3.
3. Order statistic. wiki 对最大值和最小值的corr，这里有一个非常巧妙的解法。
4. 没看懂题目。
5. 易知1小时后，每只蚂蚁的起始点都会有一只蚂蚁（但是未必是起始的那一只）。因为蚂蚁总数有限，排列数有限，所有行为可逆，那么总会在N个小时后所有蚂蚁都回到自己的起始点。
6. Sylvester–Gallai theorem。wiki 出这个题的人非常无聊。

shengyang3866 发表于 2023-11-6 00:49
感谢答主！
我想补充一下第四题：第四题的空间的 basis 是x^{k_1}_1 x^{k_2}_2 ... x^{k_n}_n，需满足 k ...

相当于去数如何将 k 拆成 n 个非负数的和。

这不就是C(k+n-1, n-1)嘛。可以用插板法推。或者读一下玻色-爱因斯坦分布的那个统计怎么做的。

匿名用户 发表于 2023-05-29 00:54:15
请问大神第二题极限怎么做呢
想用对称性去化简，但是感觉做不出....

積分表示的是一個期望
期望的極限用控制收斂定律+中心極限定律

请问第一题怎么解答呢，感觉可以变换坐标系

cycloneAWP 发表于 2023-5-9 21:52
请问第一题怎么解答呢，感觉可以变换坐标系

我觉得就是假设阴影部分涂满黑点，然后做最小二乘回归，斜率就是+0.5，然后Rsq需要算y average和sum squared error，这两个都用integral over shadowed area来算就可以了。（sum squared error最后还要除以阴影面积，再乘以1000，来估算这1000个点的sum squared error）

cycloneAWP 发表于 2023-5-9 23:52
请问第一题怎么解答呢，感觉可以变换坐标系

根据定义计算下Cov(Y, X) / Var(X)就可以

感谢分享！

请问大神第二题极限怎么做呢
想用对称性去化简，但是感觉做不出....

真难，奥数题一样。

所有人题目一样的吗