STEM OPT extension换工作的问题

求问大神们一个STEM OPT extension的问题，谢谢大家！我之前在一个小公司工作，只有part time，5/31号第一年OPT过期了，我没有赶上在OPT过期之前找到full time，就先用小公司申请了opt stem extension（现在pending状态）。最近终于找到一个全职，7/10号开始上班。我想请问跟学校Update的时候，可不可以写是5/31号离开了之前的小公司， 7/10号到新公司上班（5/31-7/10就unemployed，也不要工资了）？因为很担心小公司资质不够STEM opt extension的条件，pay太低了，担心以后申H1B或者绿卡的时候会被认为这段时间是不合法。。。