求解一道NP complete变polynomial算法题

给一个数组L和数字k，数组L的每个element加起来sum是n
已知 n/2 <= k <= n
需要输出if there exists a subset of L that sums to k. in polynomial time.

而且这道题给了一个可以用的magical function 输入可以是任意数组，output出 if there’s a subset that sums up to n，n为数组总和的一半。假设这个function time complexity是O(1)

感觉如果没给那个可以用的function这道题应该是NP complete。但不知道如何利用这个function达到polynomial time……请教各位大佬 谢谢大家

magicsets 发表于 2020-1-22 14:04
首先在 L 最后添加一个元素 x = 2k - n，由给定条件易知 x >= 0，记添加后得到的新数组为 S。

记magic f ...

想了一下 可以对这一部分稍做修改
如果F(S)为真，S可以分成两个子数组，每个的和是(n + 2k - n) / 2 = k
如果把x = 2k - n 从其中一个子数组除去，S变回L，子数组之和变为 k - (2k - n) = n - k
已知 sum(L) = n，其中一个子数组和为n - k，那么另一个的和一定是k，L中存在和为k的子数组。

或者可以直接说因为S的两个互斥子数组和均为k，且只有其中一个包含新元素2n-k，所以另一个的所有元素一定属于原数组L且和为k。

首先在 L 最后添加一个元素 x = 2k - n，由给定条件易知 x >= 0，记添加后得到的新数组为 S。

记magic function为 F。

定理：L 包含和为 k 的子序列，当且仅当 F(S) 为真。

简单的证明过程如下

充分性：假设 L 包含和为 k 的子序列，那么数组可以被分成两部分，一部分和为k，另一部分和为n - k，那么我们将x = 2k - n这个新元素添加到和为 n - k 的那个子数组中。易知添加后两个子数组和都为 k 且构成 S 的一个划分，所以F(S)为真。

必要性：假设 F(S) 为真，那么S必然可以分成两个子数组，其和都为Sum(S) / 2 = (n + 2k - n) / 2 = k - n，且其中一个数组必然包含x = 2k - n，那么将 x 从该子数组中去除后，易知剩下的元素和为(k - n) - (2k - n) = k，也就是 L 中存在和为 k 的子序列。

magicsets 发表于 2020-1-22 14:04
首先在 L 最后添加一个元素 x = 2k - n，由给定条件易知 x >= 0，记添加后得到的新数组为 S。

记magic f ...

谢谢大佬的证明！！！
我只想到加上x=2k-n这个元素这一步，后面就卡住没法证明F(S) ---> L包含和为k的subset了...
已加米！！

magicsets 发表于 2020-1-22 14:04
首先在 L 最后添加一个元素 x = 2k - n，由给定条件易知 x >= 0，记添加后得到的新数组为 S。

记magic f ...

hello 对必要性的证明还是有点疑问
如果F(S)为真，S可以分成两个子数组，但是每个的和应该是(n + 2k - n) / 2 = k 而不是 k - n
这样的话如果把x = 2k - n 除去，其中一个数组和就变成了 k - (2k - n) = n - k 而不是 k 了
如何证明可以sum up to k呢

猪头小队长w 发表于 2020-1-22 18:13
想了一下 可以对这一部分稍做修改
如果F(S)为真，S可以分成两个子数组，每个的和是(n + 2k - n) / 2 = k ...

是的.. 必要性证明的那个算数式子写错了。不过重点就是能分出一个和为k的不包括新增元素的子数组，你修改后的证明是正确的