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本帖最后由 大队管理员 于 2020-2-17 10:49 编辑
这篇文章是受到了《懒人理财法》[1]启发。那我们就一起来看看如果每年都把 pre-tax 401k 放满， 等到退休的时候是多少钱？
显然这是个开放问题，如果要想研究这个问题，那么必须要有假设和控制变量。
本文的总体假设:
- 你在2018年参加工作
- 你在2018年30岁
- 你每年都放满 pre-tax 401k
- 你的pre-tax 401k只买大盘，假设全部买SPY
- 你会在59.5岁退休
- 你一直都在公司工作，没有被辞退
本文的控制变量：
- pre-tax 401k contribution limit的年增长率 = 3.06%
- SPY的终身回报率 = 9.69%
- 美国过去28年(1992 - 2020)的平均通货膨胀率 = 2.258%
这三个变量的得到/计算方法在文章中会给出。
每年pre-tax 401k contribution都有上限，而且每年都不一样。为了比较平均地估计未来的每年上限，我用历史数据[2]计算得出pre tax 401k的每年平均增长率。
假设平均增长率是r， 1986年的上限是$7000, 2020年的上限是$19500，总共是34年。利用方程
7000*(1+r)^34 = 19500
得到 401k pre-tax contribution limit 年平均增长率 r = 3.06%。则预计2021年的上限就是19500*(1+3.06%) = 20096.7。
SPY[3]跟踪标普500指数。标普500指数的走势能够代表美国股市的总体走势。投资SPY，表示你相信美国经济，赚的是美国经济增长的钱。这里多说几句，现在有三个比较大型的跟踪标普500指数的基金，分别是SPY，IVV和VOO。其中，SPY是净资产最大，开盘时间最早的基金。SPY于1993年开盘，经历了2000年互联网泡沫和2008年的次贷危机。IVV开盘于2000年5月31日，VOO开盘于2010年9月30日。显然SPY的阅历更加丰富，所以这篇文章选择SPY作为投资对象。
401k的购买都是每次发工资时自动扣除的。全部用来买SPY的话，就相当于每月定投。SPY最近10年的市场月末平均年回报率 (Month-End Average Annual Total Market Return) 是13.85%, 这个时间段是2010 到2020，但是这十年间美国股市总体是大牛市，基本没有来自熊市的影响。所以我这里选取了SPY的终身市场回报率，9.69%。这个数字应该有足够代表性，毕竟这个基金已经27年了，大风大浪都应该见过了不少。
很多公司对于pre-tax 401k部分都有match。每个公司的政策都不一样，所以为了简化问题，我们先来看一看没有公司match会有多少钱。文章的后半部分中的一般化讨论会涉及公司提供match的情况。
表1中2018和2019年的回报率是真实回报率，2020年以后的回报率是SPY的终身回报率。
年末总资产的计算方法是今年投入与去年总资产之和，再乘以1+SPY当年回报率。比如2019年年末资产 = (19000+17676.75)*(1+31.29%) = 48152.91。
从表1中可以看出，到你退休的时候，你总共投入了88.2万美元，获得了419万！将近5倍的收益啊！看着还挺多的！至于退休之后你打算怎么花掉这笔钱，我决定应该取决于你打算活多久。假设你打算再活20年，那么要花掉这笔钱，你需要每年取出来20.9万。但是别忘记了，pre-tax 401k取钱的时候，收税是按照income tax收的，而不是long-term captical gain tax。假设到退休的时候你还是个快乐的单身狗，那么你要交的税率大约是32% (按照2019年tax bracket single[4])! long-term capital gain tax “仅仅”有15%啊！如果你幸运地结了婚，碰巧你的爱人也是跟你一样的高新码农，并且存满pre-tax 401K，并且也打算再活20年，并且也打算全部取空pre-tax 401K。那么夫妻俩一年的税前收入就是41.8万，税率是32%(按照2019年tax bracket married but file separately. Filing jointly的税率是35% [4])。
我们都知道因为通货膨胀的存在[6]， 20年前的1万刀比现在的1万刀更值钱。2047年的400万肯定不如2020年的400万值钱。那么按照现有的通货膨胀率，2047年的400万值2020年的多少钱呢？我觉得这个问题是有意义的，毕竟我们需要了解2047年的400万到底有多少购买力。
为了研究这个问题，我利用美国过去28年(1992 - 2020)的通货膨胀率的几何平均数得出了这28年的平均通货膨胀率，作为未来28年的年固定通货膨胀率。计算公式如下：假设1992~2020的每年通货膨胀率是ri, 年平均同伙膨胀率是rx，则：
(1+rx)^28 = (1+r1)(1+r2)(1+r3) … (1+r28)
由已知的 r1, …, r28 可以得出 rx = 2.258%。每年美国通货膨胀率参考[5]
有了这个通货膨胀率，我就可以把每一年的投入折算到2020年的相应对应的钱。然而，这还不够。因为我们所使用的SPY终身收益率里，也包含了通胀率。我们要把通胀率去除才行。这样，从2021年以后，SPY除去通胀率后的年平均收益率 = 9.69% - 2.258% = 7.432%
表2中折算方法如下：
每年折算(折算到2020年) = 每年投入 / [(1 + 通货膨胀率)^折算年数]
这样看下来，2047年的419万对应2020年的349万。嗯~我个人其实还是觉得这钱挺多的。：-）
写了这么多，看着挺热闹。但是这种预计退休之后pre-tax 401K账户里有多少钱的方法是不是真的靠谱呢？我们就用历史数据进行会测一下，以便验证我的这个方法。
假设有一个人，1993年的时候30岁参加工作，到2022年正好59岁马上退休。他一工作就买满401K并且全部投资SPY。那么他的账户的真实和预期情况对比请看下表。
表3中1993年的当年实际回报率Yahoo finance没有给出，我通过查找1993年开盘的第一天价格($43.94)和最后一天价格($46.59)得出回报率填上的。
表左侧：实际投入是每一年的实际上限值[2]，SPY实际每年回报率是每一年的真实回报率[7], 按照这样的信息就能够得出2019的资产是140.9万刀。由于2020年的SPY实际收益要等到年末才能看到，所以只能回测到2019年。
表右侧：预期投入是利用每年pre-tax 401K的增长率估计的每年上限值。1993年的预期投入是利用1992年的实际投入算出来的。预期收益的SPY回报率用了目前的终身回报率。可以看到，预期的资产是147.2万刀。
结果自然是验证了，这种预计的方法其实相当精确，到2019年，实际收益是140.9万，预计是147万，只有4.72%的误差。同时，用9.69%这个增长率算出来的预期收益更多一些是make sense的。毕竟这个增长率是SPY 27年来的终身增长率，包含有最近十年的牛市贡献。
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REFERENCE
[1] 懒人理财法 by bayfamily https://blog.wenxuecity.com/myblog/23244/200706/19911.html
[2] pre-tax 401K 历史上限 https://www.financialsamurai.com ... ontribution-limits/
[3] SPY Yahoo finance page: https://finance.yahoo.com/quote/SPY
[4] 2019 income tax bracket: https://www.bankrate.com/finance/taxes/tax-brackets.aspx
[5] 美国通膨率： https://www.inflation.eu/inflati ... -united-states.aspx
[6] 2018年的10万块钱在一年后值多少？
http://www.sohu.com/a/250969655_100120844
[7] SPY annual return rate history: https://finance.yahoo.com/quote/SPY/performance/
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