问一道multivariate normal的题目

最近lz在看🐶的面经，然后看到了这道题假如X, Y, Z三个变量 分别都服从正态分布，如何检验X, Y, Z jointly 服从正态分布？
想了几个方法但感觉都比较麻烦，想听听大家有没有好的方法～
会加米，先谢过大家～

hawking 发表于 2021-1-9 12:42
接上面的，这儿有更多的解释https://stats.stackexchange.com/questions/30159/is-it-possible-to-have-a ...

666，那看来还真是一个好题目。
既然是这样的话，如果是pdf给出的话，应该可以看出来。
估计题目是给出sample，然后来测试是否符合jointly normal。我的一个简单的想法是1.先中心化各个variable，然后用一个协方差矩阵去fit这些data。2.用这个协方差矩阵来得到一些新的synthesis data，算likehood。3.比较synthesis data和真实data的likelihood？

但是这个方法没有用到marginally normal这个条件，求各位大神指点

fess 发表于 2021-1-9 10:08
什么鬼。。。3个正态分布不肯定是jointly normal吗？

其实不一定，先明确一下jointly normal的定义。对于这个k维的vector，所有k个component的linear combination一定符合normal distribution。
下面我们举一个反例，假设X ～ N（0，1）， Y = m * X，m有1／2的概率取1，1/2的概率取-1。m的取值与X互相独立。我们可以知道，Y也是一个N（0，1）的正态分布。但是 X + Y = （1 + m） * X，并不是一个正态分布，此时X+Y = 0的概率是1／2，这显然不是一个正态分布。

什么鬼。。。3个正态分布不肯定是jointly normal吗？

任取向量 c in R^3, 转化为检验一维的随机变量c’(X, Y, Z) 服从正态分布？

If you want to prove 3 normal rv are jointly a normal rv, you just need to show 2 normal rv are jointly normal. To show that, assuming X and Y are normal and are independent, P(X,Y) = P(X)P(Y). So the pdf of X, Y joint is the product of pdf of X and pdf of Y. Pdf of X and Y is 1/sqrt(2*pi*var)*exp(-(X-mu)^2/(2*var)), so you just need to multiply together. With completion of squared, the product can be expressed in the form (2*pi)^-1*det(sigma)^-0.5*exp(...) which is the pdf of bivariate normal.

fess 发表于 2021-1-9 10:08
什么鬼。。。3个正态分布不肯定是jointly normal吗？

接上面的，这儿有更多的解释https://stats.stackexchange.com/ ... r-which-the-joint-d

hawking 发表于 2021-1-9 12:42
接上面的，这儿有更多的解释https://stats.stackexchange.com/questions/30159/is-it-possible-to-have-a ...

有意思，求大神们指导

顶一下，感觉是个不错的问题，看看有没有大佬有好的思路~

可不可以先看一下sample的contour sphere？