求助一道GRE数学题，怎么感觉这题好变态啊...

zealous331 发表于 2021-07-25 01:50:35
我还真没搞过♂ 这题，放gre 两分钟最多三分钟解一道的速度，这题我肯定挂了... 题目简约但是做起来真的不是那么回事...这是一道选择题，是0 1 2 3 4里五选一...我也觉得放GRE里有点太过

那就把5个选项带入吧 我觉得那个更快；
这种题在竞赛里是一大类，你这个还算是简单的，只有两个未知数而且立方这种有展开式；

其他的比如 abcdef = a+b+c+d+e+f
X! + y! = z! & x+y=z

你感受下

jason_pp_weng 发表于 2021-7-25 06:47
那就把5个选项带入吧 我觉得那个更快；
这种题在竞赛里是一大类，你这个还算是简单的，只有两个未知数而且 ...

其实第二个也还好，两边同时/x!y!得到1/y!+1/x!=(x+y choose x). 然后左边是<=2的，也就是说(x+y choose x) <=2. 如果x,y其中一个=0显然不可能，这样一排除只有x=1,y=1可以

jason_pp_weng 发表于 2021-7-25 06:47
那就把5个选项带入吧 我觉得那个更快；
这种题在竞赛里是一大类，你这个还算是简单的，只有两个未知数而且 ...

不知道第一个题目条件，但是如果全大于0的话可以看这六个数里面有几个1，如果1太少或太多都不行。比如假设没有1，左边最少已经是64了，而右边是12，左边可以看成一个function y=(abcde)f，然后如果把f增加1的话，y会增加abcde, 而右边只增加a+b+c+d+e，明显比左边少，所以这种情况不可能。如果有5个1的话，那么f=f+5也不可能，排除以后只有可能是3个或4个1。之后如果3个1的话相当于解abc=a+b+c+3, 只有a,b,c=2时候左边比右边小，否则左边大而且增加的快，所以也不可能。只剩下4个1，所以解ab=a+b+4，解出来发现a=(b+4)/(b-1).

最后试几下只有可能是111126

我来提供一个非常不general的思路。右边可以写作(x+1)^3-(x^2+3x). 所以，等式可以写为 x^2+3x+(y^3-(x+1)^3) = 0.这个等式x要有整数解括号必须是0或者2.假设括号是0，x就是0或者-3.带回去看看能不能解出整数y。再check 括号是2的情况。所以一共要检查4种情况。 现在的GRE真是太鸡儿难了

补充内容 (2021-07-26 05:14 +8:00):
谢谢楼下dragonway的指正。在得出x^2+3x+k = 0之后。要分k>= 0 和 k<0两种情况分析。若k >= 0,那么k必须是0或者2.若k<0, 那么x^3+2x^2+1=y^3<(x+1)^3 => x^2+3x < 0. 所以x可以是 -1或者-2. 代入原式，得到x,y = (-2,1)再和之前的解整合一下。      

其实这个(-2,1)的解挺奇怪的，他不应该出现在k<0的情况里，所以在算出这个解之后应该是舍弃掉的。但是这个解在k>=0的情况里出现了。所以最终还是会有他。可见上面的做法挺粗糙。。。。。

jason_pp_weng 发表于 2021-07-25 07:47:04
那就把5个选项带入吧 我觉得那个更快；
这种题在竞赛里是一大类，你这个还算是简单的，只有两个未知数而且立方这种有展开式；

不问题的意思是有0个解，1个解，2个解... 我反正最后就找了个范围然后蒙了3，虽然不知道会不会有第四个。
对于你后面那堆式子：好恶心🤢...我要吐了...学竞赛的人是真厉害，能做到看这些不犯恶心_(:з」∠)_甘拜下风...

noc_njz 发表于 2021-07-25 12:07:13
我来提供一个非常不general的思路。右边可以写作(x+1)^3-(x^2+3x). 所以，等式可以写为 x^2+3x+(y^3-(x+1)^3) = 0.这个等式x要有整数解括号必须是0或者2.假

突然感觉好有道理！y^3可以作为校准器一样的存在！

JimLTQG 发表于 2021-07-25 11:35:59
不知道第一个题目条件，但是如果全大于0的话可以看这六个数里面有几个1，如果1太少或太多都不行。比如假设没有1，左边最少已经是64了，而右边是12，左边可以看成一个function y=(abcde)f

woc 大神请收下我的膝盖！🧎‍♂️我看这堆东西我都想吐了...

zealous331 发表于 2021-07-25 12:13:24
不问题的意思是有0个解，1个解，2个解... 我反正最后就找了个范围然后蒙了3，虽然不知道会不会有第四个。
对于你后面那堆式子：好恶心...我要吐了...学竞赛的人是真厉害，能做到看这些不犯恶心_(:

奥 那确实不适合gre不过我记得gre是可以错一道的吧 放弃这道题吧；我就是个竞赛渣 省一都没拿到 最后还是高考上大学 和当时真正那些大神没法比 这也让我励志不要搞科研

noc_njz 发表于 2021-07-25 12:07:13
我来提供一个非常不general的思路。右边可以写作(x+1)^3-(x^2+3x). 所以，等式可以写为 x^2+3x+(y^3-(x+1)^3) = 0.这个等式x要有整数解括号必须是0或者2.假

不太懂为啥括号只能是0或者2？如果是按x^2+3x+k=0有整数解来判断k可能的值的话好像还有无限多种可能，比如k=4，-10，-18等等？

补充内容 (2021-07-26 04:46 +08:00):
k=-4，-10，-18...

dragonway 发表于 2021-7-25 16:44
不太懂为啥括号只能是0或者2？如果是按x^2+3x+k=0有整数解来判断k可能的值的话好像还有无限多种可能，比如 ...

因为，我 漏 解 了。应该考虑 k的取值。k如果是非负数，那就是我说的两种情况。还应该考虑k是负数的情况，k是负数的时候，通过k<0和题目给出的等式，x^2+3x < 0.所以， x只能取-2到-1. 然后代入原等式求y. 谢谢你的指正