8月美研毕业，在申请美CS研2022春季入学，人在美国，如何操作？

帮朋友想问问老铁们如下的情况该怎么办。A. 2021年8月10号美国Math Master毕业。人还在美国。Grace Period Ends算10月05号吧。F1签证是五年的，估计2023年才过期。B. 正在申请2022年春季入学美国的CS Master。一般都是2022年01月中旬开学。大约打算申请时十多所，估计9成能录一个吧。

问题如下：
1. 那么在Grace Period Ends 到2022年01月开学前，怎么才能合法的呆在美国呢？
目前想到的就是转B2。但是如果转了B2，再转F1，时间上操作不过来，无法在2022年01月中旬之前拿到F1签证，也就没法上学。感觉不大行啊。
2. 如果回国，是否需要重新申请F1签证？
根据目前的信息，好像是如果能做到SEVIS Transfer就不需要重新申请F1签证。但是2021年08月10号到2022年01月中旬之间有五个月，而且专业会从Math变到CS。那么是不是因此无法做到SEVIS Transfer，所以只能重新申请F1签证？
3. 总的讲，有没有什么办法，可以合法呆在美国，并在有offer的情况下顺利的2022年01月春季入学？
4. 如果需要离开美国，那么在有offer的情况下如何操作可以顺利的2022年01月春季入学？

多谢大家！！！

理论上讲签证是进入美国的证件。如果需要延长在美停留时间，可以填i-539表格向移民局申请。到移民局网站上查一下自己是否符合规定。