Birthday problem

There is a group of 9 people.
3 of them have birthdays on Jan 1st, 2nd and 3rd.

What's the probability of this situation?



补充内容 (2016-5-26 16:48):
the point is that only 3 birthdays are exactly one day separated each other and no cases of closer days exist.

请无视上一条格式有问题……首先，你的题意表达会造成非常多的歧义。。。

分析一下的话，如果你说的3人是 specific 的3人，概率会小很多，所以我们假定你说的是不 specific 的3人，也就是“某3人的生日在 Jan 1 2 3 的概率”，

那目前是 C(9,3)*(1/365)^3，好，我们称左边的式子是 (A) ，目前为止没有任何限定条件。

接下来你要使得另外6人的生日不和这3人 consecutive ，然后当然也包含不能落在 Jan 1 2 3 ，所以也就是说这六个人不能落在 Dec 31 Jan 1 2 3 4 这五天。

因为这6人现在已经定好了，所以直接在 (A) 上面乘 (360/365)^6。

我们得到 C(9,3)*(1/365)^3*(360/365)^6 ，好，我们称左边的式子是 (B) ，把即“某3人的生日在 Jan 1 2 3 的概率，且另外6人的生日不和他们 consecutive”的概率。

现在我假设你的题意是另外6人内部也没有“3 consecutive”甚至“4/5/6 consecutive”。这么一来题目就开始有点意思了。

使用求反的方法，我们先求另外6人内部“3 consecutive”的概率，即 P“3 consecutive” 。因为“4/5/6 consecutive”是“3 consecutive”的子集，所以到时候直接把 1 - P“3 consecutive” 乘到 (B) 上面就可以了。

“3 consecutive”分为3人生日分布在3连天，2连天（2人+1人），和同1天这三种情况。因为是6人选3人所以先乘上 C(6,3) ，现在这3人定好了。

这3人3连天的概率：(365 - 5 - 2)/(365^3)

这3人2连天的概率：(365 - 5 - 1)/(365^3)

这3人1连天的概率：(365 - 5 - 0)/(365^3)

减5是因为已经把 Dec 31 Jan 1 2 3 4 这五天放在考虑范围之外了。

所以 P“3 consecutive”= C(6,3)*((358+359+360)/(365^3))。

所以最终结果是 (B)*(1 - P“3 consecutive”)

= C(9,3)*(1/365)^3*(360/365)^6*(1 - C(6,3)*((358+359+360)/(365^3)))

= 1.59E-6 如果没算错的话……

——
以上假设基于一年365天的情况，即该年无Feb 29。

首先，你的题意表达会造成非常多的歧义。。。

分析一下的话，如果你说的3人是 specific 的3人，概率会小很多，所以我们假定你说的是不 specific 的3人，也

就是“某3人的生日在 Jan 1 2 3 的概率”，

那目前是 C(9,3)*(1/365)^3，好，我们称左边的式子是 (A) ，目前为止没有任何限定条件。

接下来你要使得另外6人的生日不和这3人 consecutive ，然后当然也包含不能落在 Jan 1 2 3 ，所以也就是说这

六个人不能落在 Dec 31 Jan 1 2 3 4 这五天。

因为这6人现在已经定好了，所以直接在 (A) 上面乘 (360/365)^6。

我们得到 C(9,3)*(1/365)^3*(360/365)^6 ，好，我们称左边的式子是 (B) ，把即“某3人的生日在 Jan 1 2 3

的概率，且另外6人的生日不和他们 consecutive”的概率。

现在我假设你的题意是另外6人内部也没有“3 consecutive”甚至“4/5/6 consecutive”。这么一来题目就开始有

点意思了。

使用求反的方法，我们先求另外6人内部“3 consecutive”的概率，即 P“3 consecutive” 。因为“4/5/6

consecutive”是“3 consecutive”的子集，所以到时候直接把 1 - P“3 consecutive” 乘到 (B) 上面就可以了

。

“3 consecutive”分为3人生日分布在3连天，2连天（2人+1人），和同1天这三种情况。因为是6人选3人所以先乘

上 C(6,3) ，现在这3人定好了。

这3人3连天的概率：(365 - 5 - 2)/(365^3)

这3人2连天的概率：(365 - 5 - 1)/(365^3)

这3人1连天的概率：(365 - 5 - 0)/(365^3)

减5是因为已经把 Dec 31 Jan 1 2 3 4 这五天放在考虑范围之外了。

所以 P“3 consecutive”= C(6,3)*((358+359+360)/(365^3))。

所以最终结果是 (B)*(1 - P“3 consecutive”)

= C(9,3)*(1/365)^3*(360/365)^6*(1 - C(6,3)*((358+359+360)/(365^3)))

= 1.59E-6 如果没算错的话……

——
以上假设基于一年365天的情况，即该年无Feb 29。

the point is that their 3 birthdays are exactly one day separated each other

so cases below are not allowed:
1. There exists someone whose birthday is Jan 4th, because 4 of them have consecutive birthdays if so, more than 3 of them
2. There exist some people whose birthdays are, for example, on July 1st, 1st, 2nd, like this, because their birthdays are closer than 3 consecutive days...

剩余6个人不能是在这三天生日喽？
(1/365)^3 * (364/365)^6

handsomecool 发表于 2016-5-26 16:33
剩余6个人不能是在这三天生日喽？
(1/365)^3 * (364/365)^6

even as you understand, other people's birthdays will not fall into these 3 days, I think the probability should be

C(9,3)*362^6/365^9?

当然如果你最初3人是 specific 的3人，而且 Jan 1 2 3 是已知的这三人的生日的话，最开头的 C(9,3)*(1/365)^3 就可以去掉了，概率显著提高，题意就变成

“已知Alex，Ben和Davy在Jan 1 2 3生日，求剩下6人不和他们consecutive，内部也不出现3或以上consecutive的概率”，

算出来是92%

修正一下

这3人3连天的概率：(365 - 5 - 2)/(360^3)

这3人2连天的概率：(365 - 5 - 1)/(360^3)

这3人1连天的概率：(365 - 5 - 0)/(360^3)

感觉应该是P(9,3)*(1/365)^3，9个人里面选择三个人生日那三天的全排列除以这三个人3个人本来的全部可能性