求問一道機率題

這道題出現在120 DS Interview Questions的機率章節中



You have a 50-50 mixture of two normal distributions with the same standard deviation. How far apart do the means need to be in order for this distribution to be bimodal?


目前我有在Quora中找到答案，但是因為數學底子不好不能夠證明

the second derivative is strictly less than zero for |μ1−μ2|<2σ

求助各位大牛，感謝

这个问题不是很难，但是稍复杂， 楼主细心求导就能算出来了。
混合概率密度函数为p(x)=0.5/sqrt(2pi)/σ*exp(-(x-μ1)^2/(2*σ^2))+0.5/sqrt(2pi)/σ*exp(-(x-μ2)^2/(2*σ^2))，正态分布的概率密度函数是光滑的，(μ1+μ2)/2一定是一个极值点，判断是单峰还是双峰就看(μ1+μ2)/2附近的函数凸凹性。若在x0=(μ1+μ2)/2处二阶导大于0，则p(x)在x0附近一定是下凸函数，即双峰的；若在x0=(μ1+μ2)/2处二阶导小于0，则p(x)在x0附近一定是上凸函数，即单峰的。解p''(x0)>0，得到|μ1−μ2|>2σ.
最复杂的是考虑一下等于0的情况，即p''(x0)=0,|μ1−μ2|=2σ，我们继续求导得到p'''(x0)=0，无法判断，则继续求导，p''''(x0)<0，这说明p''(x)在x0附近是上凸的，又因为p''(x0)=0，所以p''(x)在x0附近小于0，所以p(x)在x0附近是上凸的，所以p(x)是单峰的。
综上，双峰条件是|μ1−μ2|>2σ

因為我們需要的density function是bi-model，所以我們必須要證明兩個mean之間的那個點必然滿足second derivative大於零，我把證明放在這邊，希望有大牛能給點指教。

ctromg 发表于 2018-3-17 19:50
这个问题不是很难，但是稍复杂， 楼主细心求导就能算出来了。
混合概率密度函数为p(x)=0.5/sqrt(2pi)/σ*e ...

感謝大牛！我沒考慮到當|μ1−μ2|=2σ的情況，謝謝指點