抽中H1B后，能拿H1B读博士后去吗？

博士去年毕业的，入职了一个公司。然后今年抽中了H1B。目前考虑回国发展，回国前想在美国读几年博士后。
问题是我能拿现在的H1B身份去读博士后吗？
自己其实也在顺手申请EB2绿卡，I140通过后，高校会支持博士后/research scientist申请EB2吗？
谢谢。

博士后的H1B是non cap 的，我不记得cap 能不能轻易转non cap 了。如果不能，问题是现在很多学校都不sponsor博士后non cap  H1B，只给J1，所以要想清楚

博士后申请EB2很难，因为不是永久工作，只是几年的contract，根本不好justify为什么这人需要绿卡，毕竟H1B cover 6年，J2也有至少2年。公司给sponsor的时候都要说我们打算长时间请这个人所以需要绿卡，不然H1B6年就到期这人不能干下去。

补充内容 (2019-11-7 03:38):
是J1，打错了