请问可以在本研究所豁免然后去其他学校申请学术h1b吗

大家好，本人2016年9月来美，j1还有一年多到期（到2021年9月）， 去年底在纽约领事馆递交了j1豁免，结果领事馆需要本人提交本实验室导师有意向给h1b的证明信。结果因为之前和导师说好了课题结了今年可能走人，所以导师跟研究所秘书说我可能走， 所以就没给我出具该信。就一直拖到现在。本人做事有点拖拉，今天忽然有点心慌，感觉疫情期间可能豁免会拖很久。现在想问大家的是，可以跟老板说先豁免，然后找到其他学校的博后职位之后，在让下家老板申h1b吗 （毕竟豁免不需要老板出钱，他应该会同意）。还是在本研究所豁免了之后只能本研究所给h1b? 豁免和下一步的h1b有联系吗？谢谢大家，跪等大家指教。