题目讨论2

今天又有两道题向各位大牛请教哈

36. S and T are nonzero 3*3 matrices. Which of the following cannot

be true?
   (A) ST=0
   (B) ST!=TS
   (C) ST=ST^2
   (D) T=T^4
   (E) S^4=0 but S^3!=0
此题用排除法只能选E，但是如何证明E不成立呢？

66. Find int([sin(t)]^3/{[sin(t)]^3+[cos(t)]^3},t=0..Pi/2). (int(f(x),x=a..b)表示函数f(x)从a到b的定积分)
这道题有点束手无策

选择题是这样的。对任意方阵A,注意到如果有rank(A^k)=rank(A^(k+1))，则有rank(A^k)=rank(A^(k+s))对任意正整数s成立。
下面假设题目条件可能成立，知道rankS^3!=0，又rankS^3<=3,且S^4=0推出rankS<3,于是rankS^3<=rankS<3,也就是S^3的rank只可能是1或者2。
假设rankS^3=1,显然rankS^2=2(因为若S^2的rank也是1，用第一行的结论就知道，S^4非0)，同理有rankS=3,即S可逆。也就和S^4=0矛盾。
假设rankS^3=2,显然rankS^2=3(因为若S^2的rank也是2，用第一行的结论就知道，S^4非0),也就是S^2可逆，也就是S可逆，和S^4=0矛盾。
综上，不存在这样的矩阵

不过我想更简单的做法是利用jordan标准型。假设题目可能成立，那么A^4=0可以知道矩阵A的一个零化多项式是x^4,也就是说矩阵极小多项式是x^4的因式。矩阵极小多项式包括了矩阵所有特征值，也就是特征值只有零。于是矩阵jordan标准型就是除副对角线以外全是0，副对角线的两个元素有一个或者两个1的形式。但不论那一种，都直接可以算出来他们的立方一定是0，不会出现题目所述的情况。

第36题我也说不清楚，感觉就是选E。。。坐等别的大牛来解释

第66题做变量替换，令x=pi/2-t带入其中，你做一下，很容易发现得到的积分与原积分和为pi/2，又得到的积分与原积分值应当相等，故原积分=pi/4

另追问一下LZ，你的这些题是从哪里来的？我肿么好像没见过额。。。
方便的话能不能发我一份啊，我邮箱是739574625@qq.com

这两道是11年的回忆题，昨天的是12年的回忆题

Ripple1077 发表于 2013-10-14 22:49
这两道是11年的回忆题，昨天的是12年的回忆题

(⊙o⊙)… 我找到的11年回忆题怎么没有第一道题。。。。而且题号也不是lz你写的那两个。。。

毛小小猫 发表于 2013-10-15 08:15
(⊙o⊙)… 我找到的11年回忆题怎么没有第一道题。。。。而且题号也不是lz你写的那两个。。。

回忆题网上版本太多，我在新浪爱问和寄托上下的，现在感觉肯定做不完了

Ripple1077 发表于 2013-10-15 13:29
回忆题网上版本太多，我在新浪爱问和寄托上下的，现在感觉肯定做不完了

还是没有找到有像lz有66道题这样完整的。。。
能不能给我发一份你11年的那个回忆题呢？

66. Find int([sin(t)]^3/{[sin(t)]^3+[cos(t)]^3},t=0..Pi/2). (int(f(x),x=a..b)表示函数f(x)从a到b的定积分)
这道题有点束手无策


int([sin(t)]^3+[cos(t)]^3/{[sin(t)]^3+[cos(t)]^3},t=0..Pi/2)=int(1,t=0...pi/2)=pi/2
[sin(t)]^3,[cos(t)]^3在这段的积分是相同的，除以2就行了