求助2道回忆题

34. Which of the following conclusion can be proved by the Mean Value Theorem?
        |sin x - sin y|<=|x-y|
        |tan x - tan y|>=|x-y|, 0<x,y<pi/2
        |2^x-2^y|>=|x-y|

     Mean Value Theorem 见这里http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
     它可以用来证明当f‘(x)>0时f(x)单调增。
     我觉得只有tan x那个能用这种方法证明，sinx在R上不单调，2^x-x在R上也不单调. 不知道对不对。。。


51. An abelian group is generated by x and y, with |x|=16, |y|=24, x^2=y^3. What is the order of G?

finitedly-generated abelian group的定义见这里http://en.wikipedia.org/wiki/Finitely-generated_abelian_group
既然G由x,y生成，则<x>和<y>是G的subgroup, G的order需被16,24整除，至少是48的倍数。x^2=y^3说明在<x>和<y>中有8个元素是相同的，然后怎么唯一确定G的order？

1.
|f'(c)|*|b-a|=|f(b)-f(a)|         |cos(c)|<=1    |sec^2(c)|>=1   |2^c*ln2|>0

2.
48，你把这个阿贝尔群当做 Z/48Z 来想想
<x>就是3的倍数，3,6,9...,48
<y>就是2的倍数，2,4,6,...,48

dennis_szsy 发表于 2013-10-13 15:00
. check 1point3acres for more.1.
. Waral dи,|f'(c)|*|b-a|=|f(b)-f(a)|         |cos(c)|=1   |2^c*ln2|>0

第2题你是怎么想到G=Z_{48}, 以及x=3m, (0<m<16), y=2n, (0<n<24)的呢？

对于第2小题，我是这么想得，虽然不如dennis_szsy的想法巧妙

由于G由x,y生成，则G中应该包括三类元素：
1. x^0,x^1,...,x^15，共16个;
2. y^0,y^2,...,y^23，共24个;
3. (x^m)(y^n)，其中m为[1,15]中的整数，n为[1,23]中的整数。

1中与2中有重复元素，共8个；
3中：若m=2k，则(x^m)(y^n)=y^(3k+n)，与2中元素重复，不考虑；
       若m=2k+1，则(x^m)(y^n)=x*y^(3k+n)，因此，3中我们只需考虑形如x*y^n的元素，其中n为[1,23]中的整数。
       x*y^n中，若n=3k，则x*y^n=x^(2k+1)，不考虑；
                                 其余情况都应在G中，共23-7=16个。

to sum up, 一共有16+24-8+16=48个元素，order=48!

毛小小猫 发表于 2013-10-13 19:38
对于第2小题，我是这么想得，虽然不如dennis_szsy的想法巧妙

由于G由x,y生成，则G中应该包括三类元素：
...

你的思路很清晰，我一开始也尝试按m,n的划分. 但是想着想着就凌乱了，感谢！！！

如果lz知道有限Abel群的分类定理就清楚了，整个群一定是循环群，因为x,y是群的生成元，但是两者之间又是有关系的，所以整个群不可能由两个元素生成，只能由一个元素生成

A.Einstein 发表于 2013-10-17 20:27
如果lz知道有限Abel群的分类定理就清楚了，整个群一定是循环群，因为x,y是群的生成元，但是两者之间又是有关 ...

我知道Abelian Group 的Classification Theory. 你的意思是确定该群是循环群以后，假设order是48, 那么16和24都是48的divisor,一定有相应的子群，再根据48/gcd(x,48)=16得x=3, 48/gcd(y,48)=24得y=2,检验发现x^2=y^3?

第二题可以这么考虑：

构造一个映射 f: Z_16 X Z_24 -> G 定义为 f(m,n)=x^my^n （这里 X 表示direct sum）

因为是abel group，所以这个映射是个homomorphism，而且是surjective。

根据Isomorphism theorem， |G|=|Z_16 X Z_24|/|Ker f|

所以要做的就是算出来|Ker f|，而|Ker f|只可能是(2,-3)所生成的cylic group，因为x^2y^{-3}=e，而(2,-3)的阶是8，所以

|G|=16*24/8=48

第二题可以把G看成Z模，由基元素x y 生成，上面有3个关系：
16x       = 0
       24y =0
.1point3acres2x + 3y  =0

然后化简得 G同构与 Z/48Z

详见artin 第14章

|HK|=|H||k|/(|H^K|)