求问实变函数和实分析的区别

看到很多帖子说统计申请中很看重是否学过实分析，我本科是数学与应用数学的，但我们系比较弱，我只学过实变函数。所以很想弄明白实分析和实变函数的区别。自己也上网查过一下，结果很杂，所以希望大家能帮助解答一下。若是有比较了解的同学也可以推荐一两本比较容易的教材，谢谢各位。

美国的real analysis有两种。一种是undergraduate real analysis, 内容如8楼所说，差不多是国内的数学分析，但是很多学校还会补充lebesgue interal之类的额外内容，标准的课本就是Baby Rudin.

还有就是graduate real analysis, 大概就是measure theory + functional analysis, 标准的课本是Rudin的real and complex analysis或者Folland的Real analysis，有的学校还会补充一些内容比如spectral theory, topological vector space.

有的学校还有专门的functional analysis课，是real analysis后续课，讲更深的内容，比如peter lax的泛函或者rudin的泛函，不同学校讲的内容很不一样。



国内的本科实变函数和泛函分析内容是接近于graduate real analysis,但是国内的本科实变和泛函普遍来说深度和广度低于美国的graduate real analsis.

melancholic 发表于 2013-2-4 09:27
这两个名称本身不应该有很大区别，但不同的实变函数/实分析课程的内容可以相差很大。

首先表示感谢，相差很大是指所讲的难度和深度么？我自己看过那汤松（俄国）的实变函数论，感觉深度要高很多，也看到有人说实分析就是简单的实变函数+泛函分析，一头雾水，很感谢，我很认真看看您推荐的教材的，谢谢。

这两个名称本身不应该有很大区别，但不同的实变函数/实分析课程的内容可以相差很大。

这个关系是不是和复变函数与复分析差不多？
建议楼主找一本实分析的书读一遍= =

实分析的书，我特别喜欢Elias M. Stein的Real Analysis。

不是一种东西么？

看星的馨馨 发表于 2013-2-4 10:55
不是一种东西么？

网上的说法1：实变函数更侧重勒贝格积分，实分析在实变函数的基础上又主要讲了广义测度论和一些泛函的东西比如希尔伯特空间。
网上的说法2：实分析=实变函数+泛函分析
网上的说法3：实分析和实变函数等价。
这是我看的一些说法，感觉我这个问题问的不好，这到底是怎么回事还得认真看了书才知道，所以我去看书了，自己去理解一下比较好，这是个不该问的问题。

美国的实分析第一学期一般是点集拓扑、数列和函数的收敛、函数的连续性等等，最后一般讲到黎曼积分
第二学期一般是测度论、勒贝格积分、希尔伯特空间等
第三学期就各学校不同了，有的会讲泛函分析，有的会讲流形分析，有的讲调和分析，还有的学校本科分析课程只有两学期。
分析的课程一般是以证明为主。

肯定不会是实变+泛函...我们学校同时开Real Analysis和Functional Analysis，我觉得Real Analysis应该和Real Variable就是叫法有点区别而已，因为一般学校不会同时开这两个，说明至少区别不大。

没听说过实分析包括泛函分析这种说法，总体来说中国的实变函数课程都会有lebesgue积分这一块，而实分析不一定会包括这一块，有些实分析指的就是一般数学分析的内容