急，求解一道online assessment 的矩阵题

急，一道online assessment 的矩阵题，求解
题目：一个列大于行的长矩阵C乘以一个行和列相等的矩阵X，结果等于这个长矩阵C，X的其中一个解是 I(单位矩阵），请求出另外一个有效解，并比较两个解的F范数，哪个范数比较大？  

X必然是到C的行空间的projection matrix，然后构造用C构造X就可以了。

我感觉可以这样做，C=[C1,.. ,Cn]。因为 n>m, 所以可以找到orthogonal matrix Q such that CQ=[D1,..D_k,0,0,0...0]，然后take A= [{I_k, 0}, {0, B}] where I_k is the k by k identity matrix and B is an arbitrary n-k by n-k symmetric matrix. 那么CQA=CQ，所以take X=QAQ^T就满足 CX=C而且因为Q is orthogonal, X must also be orthogonal. 这样的话||X||=||A||>=||I|| since B is arbitrary so can have arbitrarily large Eigenvalues.

smile6856 发表于 2020-3-20 21:21
你好，不知道你能不能写一下这个题目的证明过程给我看看？我耗时2天，崩溃了

你确定题目理解的对吗..如果是Frobenius norm，X square matrix就是这样:
Let Q be orthogonal such that CQ=[D_1, D_k, 0,0...0] where D_1, ... D_k are column vectors. Then take the block matrix
A=I_k | B
    0    | C  where I_k is the k by k identity matrix and B and C are arbitrary matrices. Then CQA=CQ, which implies CX=C if X= QAQ^T. This proves the existence of solutions to CX=C. In particular, X_i=QA_iQ^T where A_i= Diagonal[1, 1,..., 1, i] for real i are all solutions.  

Then it follows ||X_i||^2=||A_iA_i^T||=n-1+i^2. So solutions to CX=C can have arbitrary norm.

这个题。。。真心可以拿来给本科生做VP终面，但是放在OA里我反倒不知从何说起了

你这个感觉条件不足啊.. 比如 C=[1,0] 那X=Diagonal[1,c]都能满足CX=C

chgwang 发表于 2020-3-20 12:25
你这个感觉条件不足啊.. 比如 C=[1,0] 那X=Diagonal[1,c]都能满足CX=C

是啊，我想了好几个小时都做不出来，题目的条件很少，题目只是说c的行是m,列是n,m小于n

spilt-over 发表于 2020-3-20 12:10
这个题。。。真心可以拿来给本科生做VP终面，但是放在OA里我反倒不知从何说起了

我研究了几个小时都做不出来，哭晕

smile6856 发表于 2020-3-20 12:33
我研究了几个小时都做不出来，哭晕

这个题要是放在面试里，水平还是很高的。

你是要对某一个给定的C求X，还是要对任意的C求X？任意的我就参不透了，难道X的对称性里隐含了什么约束。
简单来讲，X和C都拆成列向量C=[C1, C2, ... Cn], X=[X1, X2, X3, ... Xn]，原题变成线性方程组
{
C X1 = C1
C X2 = C2
...
C Xn = Cn
}

我咋觉得这么个非齐次方程组不是一定有非平凡解的呢？X的对称性保证了解的存在性？
如果真的有解，直接调一下库就完事了

补充内容 (2020-3-19 21:59):
我嘞个去，越想越难，不会。列满秩的话最多只有平凡解，不满秩的话要继续拿基础解系去凑。不能当线性方程组的题做，得从其他角度去用对称阵的条件。已挂。

spilt-over 发表于 2020-3-20 12:43
这个题要是放在面试里，水平还是很高的。

你是要对某一个给定的C求X，还是要对任意的C求X？任意的我就 ...

我觉得你给了我很多思路！！对了，我刚才写错了，x是n乘以n的矩阵，不是对称矩阵，对不起！！

smile6856 发表于 2020-3-20 13:11
我觉得你给了我很多思路！！对了，我刚才写错了，x是n乘以n的矩阵，不是对称矩阵，对不起！！

我能再跟你讨论讨论这个题目吗

smile6856 发表于 2020-3-20 13:11
我能再跟你讨论讨论这个题目吗

题目是任意的c矩阵

spilt-over 发表于 2020-3-20 12:43
这个题要是放在面试里，水平还是很高的。

你是要对某一个给定的C求X，还是要对任意的C求X？任意的我就 ...

题目是任意的c矩阵，我能跟你再讨论讨论这个题目吗