延了期的实习需要补发offer letter来证明就业情况吗

大家好，楼主在一家很小的startup用OPT实习，当初实习的offer letter写着是到九月底结束，结果九月的时候没找到fulltime，这家startup也不sponsor，但是同意让我继续当intern，没有明确结束时间，只是没再发新的offer letter。现在找到fulltime准备换工作了，请问：
1. 需要给公司发带有具体离职日期的辞职信吗，还是只要说一声就好了？毕竟title只是intern
2. 需要问公司要一封新的offer letter，日期到离职那天吗？
3. 如果某个周内离职，然后下周一去新公司上班的话，这段期间会算到90天的unemployment里面去吗？
主要关心OPT那边employment history需要什么证明文件。谢谢！

自己顶顶，有人有OPT期间实习的经验吗